iPhone 5S (все свежие обновления), говорит, что сама ОС и прочее заним...

Да, кэш на айфонах может отъедать немало памяти. И главное что нет простого способа его почистить. Нередко «раздувает» мессенджеры, проще их удалить и установить снова. Браузерам кэш обычно можно легко почистить. Про сафари было выше. В хроме настройки — Конфиденциальность — «Очистить данные браузера». В Firefox iOS — Параметры — Конфиденциальность — «Очистить личные данные».

Еще избавиться от лишних кэшей иногда помогает Force-Reboot — принудительная перезагрузка айфона. Для ее осуществления надо на 10 секунд зажать громкость вверх, вниз, потом кнопку питания (на моделях с кнопкой Home — держать вместе кнопку питания и Home 10 сек).

Но лучше всего поможет восстановление из резервной копии. Просто делаете бэкап телефона, а следом устанавливаете его снова. Ничего не потеряется и т.д., но при создании копии система избавиться от всего лишнего, это может помочь получить до 10 свободных ГБ! Как бэкапиться, можно почитать тут у эппл.