При заходе в свои почтовые учетки на новом Mac из интернета подгрузятся все письма, но вот если вы на старом Mac в приложении Почта создали папку — то на новом Mac она не появится. 

Для того, чтобы перенести папки на новый Mac, выделите все нужные почтовые папки на старом устройстве, нажмите правой кнопкой мыши и выберите опцию экспорта папок, после чего выберите, куда их сохранить:

Теперь перенесите их на новый Mac, в Finder нажмите на Файл > Импорт, выберите Apple Mail и укажите папки, которые вы перенесли — они добавятся в программу Почта в меню Импорт на боковой панели. Теперь их можно перетащить из этого меню в любое удобное место на боковой панели.